Analyse énergétique d'un mouvement en Python

Objectif de la fiche : utiliser un langage de programmation pour effectuer le bilan énergétique d'un système en mouvement, à partir de positions mesurées sur une chronophotographie.

Cette fiche est autonome : tu n'as besoin d'aucun autre document, les positions du volant (déjà extraites d'une chronophotographie) sont recopiées directement dans le script. Chaque étape contient un script incomplet à compléter, puis à copier-coller dans Thonny (ou dans la console Basthon tout en bas de la page si tu n'as pas Thonny sous la main).

Le vol du volant de badminton

À savoir

Un volant de badminton, de masse m = 5 g = 0,005 kg, est lancé avec une vitesse initiale importante et un angle de 45° par rapport à l'horizontale. Une chronophotographie de son vol a déjà été exploitée pour en extraire 10 positions d (en mètres), régulièrement espacées dans le temps toutes les 0,05 s.
La vitesse ne peut pas être calculée directement à la première ni à la dernière position (il manque un point « avant » ou « après » pour faire une différence centrée) : la liste des vitesses vl compte donc 2 valeurs de moins que la liste des positions.
Le script ci-dessous est déjà complet : copie-le tel quel dans Thonny (ou dans Basthon) pour commencer.

etape0_donnees_vitesse.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

d=np.array([0,1.8,3.1,4.1,4.8,5.4,6,6.4,6.8,7.1])  # positions successives, en m
t=0.05*np.arange(10)  # instants associés, en s

vl=[]
m=np.arange(len(t)-2)  # on s'arrête 2 avant la fin
for i in m :
    v=(d[i+2]-d[i])/(t[i+2]-t[i])  # différence centrée
    vl.append(v)

Résultat attendu

La liste vl contient 8 vitesses, décroissantes : 31 ; 23 ; 17 ; 13 ; 12 ; 10 ; 8 ; 7 (en m/s). Le volant ralentit fortement au cours de son vol.

Tracer la vitesse au cours du temps

À savoir

Comme la liste vl a 2 valeurs de moins que t, il faut décaler la liste des temps pour que chaque vitesse soit associée au bon instant : t[1:-1] retire le premier et le dernier terme de t, exactement les deux instants qui n'ont pas de vitesse calculée.

Consigne

Construis le tableau t1 = t[1:-1], puis trace vl en fonction de t1, en points-lignes bleus ('bo-').
Ajoute une grille, les étiquettes "temps" / "vitesse", et un titre.

etape1_vitesse.py

# TODO : décale t pour qu'il corresponde à vl
t1 = t[_:__]

# TODO : trace vl en fonction de t1, points-lignes bleus
plt.plot(__, __, '___')
plt.grid()
plt.xlabel("______")
plt.ylabel("_______")
plt.title("____________________________________")
plt.show()

Résultat attendu

Une courbe qui part de 31 m/s à t1 = 0,05 s et décroît régulièrement jusqu'à 7 m/s à t1 = 0,40 s : le volant est fortement ralenti pendant son vol, bien plus qu'une simple chute libre ne l'expliquerait.

Calculer les énergies cinétique, potentielle et mécanique

À savoir

L'énergie cinétique s'écrit Ec = ½·m·v². Avec m = 0,005 kg, le facteur ½·m vaut 0,0025.
L'énergie potentielle de pesanteur s'écrit Ep = m·g·h, avec g = 9,8 m/s². Le volant étant lancé à 45°, la hauteur atteinte pour une distance parcourue d vaut h = d·sin(45°) = d·√2/2.
Comme à l'étape 1, il faut décaler la liste des positions avec d[1:-1] pour qu'elle corresponde en longueur aux 8 vitesses calculées (et donc aux 8 énergies cinétiques).
L'énergie mécanique est la somme des deux : Em = Ec + Ep.

Consigne

Complète le script ci-dessous pour calculer ec, ep et em, puis trace les trois énergies en fonction du temps sur un même graphe (Ec en bleu, Ep en vert, Em en rouge, chacune avec des points reliés par une ligne).

etape2_energies.py

vll=np.array(vl)

# TODO : énergie cinétique Ec = 1/2 * m * v²
ec=______*vll**_

# TODO : décale d comme à l'étape 1
d2=d[_:__]

# TODO : énergie potentielle Ep = m*g*d2*sin(45°)
ep=_____*___*d2*np.sqrt(_)/_

# TODO : énergie mécanique
em=__+__

t2=0.05*np.arange(_)

plt.plot(t2,ec,'____',lw=1,label='Ec')
plt.legend()
plt.plot(t2,ep,'____',lw=1,label='Ep')
plt.legend()
plt.plot(t2,em,'____',lw=1,label='Em')
plt.legend()
plt.grid()
plt.xlabel("temps")
plt.ylabel("énergies")
plt.title("Evolution des diverses énergies pendant le mouvement du volant")
plt.show()

Indice

t2 doit avoir la même longueur que ec, ep et em, c'est-à-dire 8 valeurs — comme vl. Pour les couleurs, on retrouve le même code que d'habitude : 'bo-' pour du bleu, 'go-' pour du vert, 'ro-' pour du rouge, chaque fois avec des points reliés par une ligne.

Résultat attendu

Ec part d'environ 2,40 J et décroît jusqu'à 0,12 J. Ep part d'environ 0,06 J et croît doucement jusqu'à 0,24 J. Em, la somme des deux, part d'environ 2,46 J et décroît jusqu'à 0,36 J : contrairement à Ec et Ep qui varient chacune dans un sens, Em diminue nettement sur toute la durée du vol.

＋

Analyse

À observer

Si le volant n'était soumis qu'à son poids (mouvement de chute libre), l'énergie mécanique se conserverait : ce que perd l'énergie cinétique, l'énergie potentielle le regagnerait exactement, et Em resterait constante au cours du temps.
Or le graphe montre que l'énergie mécanique diminue tout au long du vol. Elle n'est donc pas conservée : c'est la signature d'une force qui travaille « en négatif », c'est-à-dire qui retire de l'énergie au système.
Cette force, c'est le frottement de l'air sur le volant (particulièrement important ici, car un volant de badminton a une forme conçue justement pour être très freinée par l'air). La puissance de cette force de frottement est non nulle, ce qui explique la perte d'énergie mécanique observée.
Pour aller plus loin : la même démarche que celle utilisée dans la fiche « Analyse d'une force de frottement » de cette série (étudier comment l'accélération varie avec la vitesse) permettrait de proposer un modèle mathématique pour cette force de frottement de l'air.

＋

Conclusion

À retenir

À partir de positions mesurées sur une chronophotographie, on peut reconstruire la vitesse (par différences centrées), puis les énergies cinétique, potentielle et mécanique d'un système en mouvement.
La non-conservation de l'énergie mécanique est un indicateur numérique fiable de la présence de frottements : dans un mouvement sans frottement (chute libre, par exemple), Em resterait constante.
Chaque fois qu'une liste est construite par différence (vitesse à partir des positions), elle est plus courte que la liste d'origine : il faut penser à décaler les autres listes (temps, positions) avec une notation du type [1:-1] pour que tout corresponde bien lors des calculs et des tracés.

Pense-bête — bilan énergétique d'un mouvement

v=(d[i+2]-d[i])/(t[i+2]-t[i])	vitesse par différence centrée
d[1:-1]	retire le 1er et le dernier élément
Ec = ½·m·v²	énergie cinétique

Ep = m·g·h	énergie potentielle de pesanteur
Em = Ec + Ep	énergie mécanique
Em non constante	signature de frottements (puissance ≠ 0)

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