Chapitre 9 — Satellites et planètes

Cours complet — Satellites et planètes

Révisions et échauffements p. 374–375 · Lois de Kepler · Mouvement circulaire

Mouvement des planètes — Lois de Kepler

L'orbite d'une planète ou d'un satellite est la trajectoire de son centre de masse dans le référentiel lié au centre de l'astre attracteur.

La période de révolution T est la durée nécessaire pour parcourir l'ensemble de l'orbite (un tour complet).

1ère loi

Loi des orbites

Dans le référentiel héliocentrique, l'orbite d'une planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des deux foyers. Le demi-grand axe est noté $a$.

2ème loi

Loi des aires

Le segment reliant le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. La vitesse augmente quand la planète est proche du Soleil, diminue quand elle s'en éloigne.

3ème loi

Loi des périodes

$T^2/a^3 = K$ est une constante qui ne dépend que de l'astre attracteur. Toutes les planètes d'un même système partagent la même constante $K$.

3ème loi de Kepler — Loi des périodes

$$\frac{T^2}{a^3} = K = \text{constante}$$

$T$ : période de révolution (s) · $a$ : demi-grand axe de l'orbite (m)
$K$ ne dépend que de l'astre attracteur · valeur à retrouver selon le contexte

Cas particulier — Orbite circulaire

Pour une orbite circulaire (ellipse où les deux foyers coïncident), $a = r$ (rayon de l'orbite) et la 2ème loi impose un mouvement uniforme : la vitesse est constante.

✦ Référentiels à connaître

Orbite de la Terre → référentiel héliocentrique (centré sur le Soleil).
Orbite de la Lune → référentiel géocentrique (centré sur la Terre).
La constante $K$ de la 3ème loi diffère selon l'astre attracteur (Soleil, Terre…).
La loi des aires implique que la vitesse d'une planète n'est pas constante sur une ellipse.

Mouvements circulaires — Application de la 2ème loi de Newton

Pour un satellite ou une planète en orbite circulaire, le mouvement est uniforme. Le vecteur accélération est radial et centripète (dirigé vers le centre de l'astre attracteur).

Accélération centripète — Repère de Frenet

$$\vec{a} = \frac{v^2}{r}\,\hat{u}_n$$

$v$ : vitesse orbitale (m·s⁻¹) · $r$ : rayon de l'orbite (m) · $\hat{u}_n$ : vecteur unitaire centripète

En appliquant la 2ème loi de Newton ($\vec{F} = m\vec{a}$) avec la force gravitationnelle $F = GmM/r^2$, on obtient l'expression de la vitesse orbitale et de la période :

Vitesse orbitale circulaire

$$v = \sqrt{\frac{G \times M}{r}}$$

$G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻²
$M$ : masse de l'astre attracteur (kg)
$r$ : rayon de l'orbite (m)

Période de révolution

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G \times M}}$$

On retrouve la 3ème loi de Kepler :
$T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM) = K$
— constante pour l'astre attracteur

Cohérence — Lien Kepler / Newton

La 3ème loi de Kepler est une conséquence directe de la loi de la gravitation universelle de Newton appliquée à une orbite circulaire : $K = 4\pi^2/(GM)$.

Satellites géostationnaires

Un satellite géostationnaire est toujours positionné au-dessus du même point de la surface terrestre. Pour cela, sa période de révolution doit être égale à la période de rotation de la Terre : $T \approx 24\,\text{h}$. Il tourne nécessairement sur une orbite équatoriale, dans le sens de rotation de la Terre.

La formule $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM_{\text{Terre}})}$ permet de calculer le rayon de l'orbite géostationnaire ($r \approx 42\,000$ km depuis le centre de la Terre, soit ~36 000 km d'altitude).

Application — Rayon de l'orbite géostationnaire

En isolant $r$ : $\displaystyle r = \left(\frac{GM_\oplus T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$, avec $M_\oplus = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg et $T = 86\,400$ s.

✦ À retenir — Orbite circulaire

Plus le rayon $r$ est grand, plus la vitesse orbitale $v$ est faible et la période $T$ est longue.
La masse du satellite $m$ n'intervient pas dans $v$ ni dans $T$ (seule la masse de l'astre attracteur $M$ compte).
Un satellite géostationnaire : orbite équatoriale, $T = 24$ h, altitude ≈ 36 000 km.
La constante de Kepler : $K = 4\pi^2/(GM)$ — ne dépend que de l'astre attracteur.