Mécanique des fluides · Rien ne va de soi

La poussée d'Archimède

Principe d'Archimède

Tout corps immergé, tout ou en partie, dans un fluide subit de la part du fluide des actions mécaniques modélisées par une force verticale vers le haut de valeur égale au poids du volume de fluide déplacé.

Poussée d'Archimède

$$\vec{\pi} = -m_f\,\vec{g} = -\rho_f\,V_i\,\vec{g}$$

$\rho_f$ : masse volumique du fluide (kg·m⁻³) · $V_i$ : volume immergé (m³) · $g = 9{,}81$ m·s⁻²
La poussée est verticale, orientée vers le haut, de norme $\pi = \rho_f\,V_i\,g$.

Conditions d'équilibre de flottaison

Le corps flotte si $\rho_{\text{corps}} < \rho_{\text{fluide}}$ : une fraction seulement est immergée, telle que $\pi = P$.
Le corps est en équilibre immergé si $\rho_{\text{corps}} = \rho_{\text{fluide}}$.
Le corps coule si $\rho_{\text{corps}} > \rho_{\text{fluide}}$.
À l'équilibre : $\rho_f\,V_i\,g = m\,g$, donc $V_i = \dfrac{m}{\rho_f}$.

Application · Glace dans l'eau

$\rho_{\text{glace}} = 925$ kg·m⁻³, $\rho_{\text{eau}} = 1000$ kg·m⁻³. La proportion immergée est $\dfrac{V_i}{V} = \dfrac{\rho_{\text{glace}}}{\rho_{\text{eau}}} = \dfrac{925}{1000} = 92{,}5\%$. Seuls 7,5 % du cube dépassent à la surface.

Bilan des forces sur un corps flottant

Écoulement d'un fluide

Régime permanent et lignes de courant

Pour décrire l'écoulement d'un fluide incompressible, on le subdivise en particules de fluide de dimensions mésoscopiques (≈ 0,1 μm).

Les vecteurs vitesses des particules de fluide sont tangents à des courbes appelées lignes de courant, qui permettent de cartographier le champ de vitesse.

Régime permanent

L'écoulement est en régime permanent si la vitesse d'écoulement en tout point ne varie pas au cours du temps. Les lignes de courant sont alors fixes.

Débit volumique et équation de continuité

Le débit volumique $D_V$ correspond au volume $V$ de fluide qui traverse une section droite par unité de temps :

Débit volumique

$$D_V = \frac{V}{\Delta t} = v \times S$$

$v$ : vitesse d'écoulement (m·s⁻¹) · $S$ : aire de la section droite (m²) · $D_V$ en m³·s⁻¹

Équation de continuité — fluide incompressible

$$D_{V1} = D_{V2} \quad \Leftrightarrow \quad v_1 \times S_1 = v_2 \times S_2$$

Pour un fluide incompressible, le débit volumique est le même en tout point d'un conduit. Si $S$ diminue, $v$ augmente.

Équation de continuité — étranglement d'un conduit

III

Relation de Bernoulli et effet Venturi

Quand les frottements sont négligeables, l'écoulement d'un fluide incompressible de masse volumique $\rho$ constante, en régime permanent, vérifie la relation de Bernoulli entre deux points $M_1$ et $M_2$ sur une même ligne de courant :

Relation de Bernoulli — conservation de l'énergie volumique

$$P_1 + \rho g z_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \rho g z_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 = \text{constante}$$

$P$ : pression (Pa) · $\rho g z$ : énergie potentielle volumique (J·m⁻³) · $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ : énergie cinétique volumique (J·m⁻³)
Les trois termes s'expriment en Pa = J·m⁻³ — cohérence dimensionnelle vérifiée.

Cette relation résulte d'un bilan d'énergie volumique. Elle s'applique pour des points sur une même ligne de courant, ou pour tous les points si l'écoulement est non tourbillonnaire.

Cas particulier 1

Statique des fluides

$v_1 = v_2 = 0$

$P_2 - P_1 = \rho g(z_1 - z_2)$

Si $z_2 > z_1$, alors $P_2 < P_1$ : la pression diminue avec l'altitude.

Cas particulier 2 — Venturi

Écoulement horizontal

$z_1 = z_2$

$P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2$

Là où $v$ augmente (étranglement), $P$ diminue — c'est l'effet Venturi.

Lien avec Archimède

Fluide au repos

$\vec{\pi} = -\rho_f V_i \vec{g}$

La poussée d'Archimède est le cas limite de Bernoulli pour un fluide statique.

L'essentiel de Bernoulli

La somme $P + \rho g z + \tfrac{1}{2}\rho v^2$ est constante le long d'une ligne de courant.
Quand la vitesse augmente (étranglement), la pression diminue — effet Venturi.
Quand l'altitude augmente, la pression diminue — statique des fluides.
La relation est valable pour un fluide incompressible, non visqueux, en régime permanent.

Applications remarquables

✈️

Tube de Pitot

Mesure la vitesse d'un avion. Un point d'arrêt (v = 0) crée une surpression ; la différence de pression avec un point latéral donne v via Bernoulli.

🎈

Montgolfière

L'air chaud ($\rho_{\text{ac}} < \rho_{\text{a}}$) réduit la masse totale ; la poussée d'Archimède l'emporte sur le poids et la montgolfière s'élève.

🚢

Sous-marin

En remplissant les ballasts d'eau, la masse augmente ($\vec{P} > \vec{\pi}$) → plongée. En vidant les ballasts, $\vec{\pi} > \vec{P}$ → remontée.

🏙️

Alimentation d'un gratte-ciel

Bernoulli donne la vitesse de sortie aux différents étages à partir de la hauteur d'eau dans le réservoir en toiture.

🏺

Vase de Tantale

Un siphon caché s'amorce dès que l'eau dépasse les 2/3 de hauteur, puis vide entièrement le vase — illustration de Bernoulli et des siphons.

💧

Effet Venturi

Un carburateur, une pompe à vide par venturi, un atomiseur de parfum utilisent la dépression créée à l'étranglement pour aspirer un fluide.

Vidéo de cours

Cours complet

Mécanique des fluides — Poussée d'Archimède, Bernoulli, Venturi

Débit volumique, équation de continuité, relation de Bernoulli, effet Venturi et applications expérimentales.

Archimède

$\pi = \rho_f\,V_i\,g$

Débit volumique

$D_V = v \times S$

Continuité

$v_1 S_1 = v_2 S_2$

Bernoulli

$P + \rho g z + \tfrac{1}{2}\rho v^2 = \text{cte}$

Statique (v = 0)

$P_2 - P_1 = \rho g(z_1 - z_2)$

Venturi (z₁ = z₂)

$P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2$

Fluide incompressible

Non visqueux (frottements négligeables)

Régime permanent

Points sur la même ligne de courant

Ou écoulement non tourbillonnaire (tous les points)

Mécaniquedes fluides