Mécanique — Cinématique & Dynamique

Référentiel d'étude

Définition · Référentiel

Le mouvement d'un objet ponctuel est caractérisé par sa trajectoire et sa vitesse par rapport à un solide de référence appelé référentiel.

Référentiel galiléen

Un référentiel est dit galiléen si le principe d'inertie (1ʳᵉ loi de Newton) y est vérifié. Un référentiel en translation uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen.

Les trois référentiels à connaître

Héliocentrique — toujours considéré comme galiléen.
Géocentrique — galiléen si l'étude ne dépasse pas quelques heures.
Terrestre — galiléen si l'étude ne dépasse pas quelques minutes.

Cinématique — décrire le mouvement

Vecteur position

Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ associé à l'origine des temps $t_0 = 0$, la position du mobile est donnée par son vecteur position :

Vecteur position

$$\overrightarrow{OM}(t) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j} + z(t)\,\vec{k}$$

Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps. Sa direction est la tangente à la trajectoire, son sens est celui du mouvement.

Vecteur vitesse — définition & coordonnées

$$\vec{v}(t) = \frac{d\,\overrightarrow{OM}}{dt} = v_x\,\vec{i}+v_y\,\vec{j}+v_z\,\vec{k}$$

Valeur (norme) : $v(t) = \|\vec{v}(t)\| = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ — en m·s⁻¹

Vecteur accélération

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps. Il existe dès qu'il y a une variation de $\vec{v}$ en valeur ou en direction.

Vecteur accélération — coordonnées

$$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} \quad \Rightarrow \quad a_x = \frac{dv_x}{dt},\; a_y = \frac{dv_y}{dt},\; a_z = \frac{dv_z}{dt}$$

$a(t) = \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ — en m·s⁻²

Repère de Frenet (mouvement circulaire)

Pour les trajectoires circulaires, on utilise le repère de Frenet $\bigl(M(t);\,\vec{u}_t;\,\vec{u}_n\bigr)$ : $\vec{u}_t$ tangent au mouvement, $\vec{u}_n$ centripète (vers le centre). Les composantes de l'accélération sont :

Accélération dans le repère de Frenet

$$\vec{a}(t) = \underbrace{\frac{dv}{dt}}_{a_t}\,\vec{u}_t + \underbrace{\frac{v^2}{R}}_{a_n}\,\vec{u}_n$$

$a_t = dv/dt$ : accélération tangentielle (variation de vitesse scalaire) · $a_n = v^2/R$ : accélération centripète (changement de direction)

Types de mouvements

Mouvement	Condition sur $\vec{v}$ et $\vec{a}$	Caractéristiques
Rectiligne uniforme	$\vec{a} = \vec{0}$, $v = \text{cte}$	$\vec{v}\cdot\vec{a} = 0$ — trajectoire : droite
Rectiligne accéléré	$\vec{a} = \text{cte}$, $v$ augmente	$\vec{v}\cdot\vec{a} > 0$
Rectiligne ralenti	$\vec{a} = \text{cte}$, $v$ diminue	$\vec{v}\cdot\vec{a} < 0$
Circulaire uniforme	$v = \text{cte}$, $a_t = 0$	$\vec{a}$ centripète uniquement · $\vec{v}\cdot\vec{a} = 0$
Circulaire non uniforme	$v$ variable, $\vec{a}$ quelconque	$a_t \neq 0$ et $a_n = v^2/R$

III

Dynamique — lois de Newton

1ʳᵉ loi · Principe d'inertie

Dans un référentiel galiléen, le centre de masse d'un système isolé ou pseudo-isolé persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme. $\sum\vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a}_G = \vec{0}$

2ᵉ loi de Newton — Principe Fondamental de la Dynamique

$$\sum\vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}(t) = m\,\frac{d\vec{v}}{dt}$$

Valable dans un référentiel galiléen, pour un système de masse $m$ constante. Unités : N = kg·m·s⁻²

3ᵉ loi · Actions réciproques

Deux systèmes en interaction exercent l'un sur l'autre des forces opposées : $\overrightarrow{F}_{A/B} = -\overrightarrow{F}_{B/A}$

Méthode d'application

Définir le système

Choisir l'objet étudié et le point (centre de masse) qui le représente.

Choisir un référentiel galiléen

Justifier le choix (terrestre, géocentrique…) et préciser la durée de l'étude.

Bilan des forces (schéma)

Identifier toutes les forces extérieures et les représenter sur un schéma.

Écrire la loi de Newton vectorielle

Appliquer $\sum\vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}$ ou $\sum\vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}$.

Projeter et résoudre

Obtenir les équations scalaires, puis intégrer pour obtenir $\vec{v}(t)$ puis $\overrightarrow{OM}(t)$.

Inventaire des forces

Poids

$\vec{P} = m\vec{g}$

Vertical, vers le bas. $g = 9{,}81\text{ m·s}^{-2}$

Gravitation

Loi de gravitation

$F = G\dfrac{m_A m_B}{r^2}$

$G = 6{,}67\times10^{-11}$ m³·kg⁻¹·s⁻²

Électrique

Loi de Coulomb

$F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_A q_B}{r^2}$

$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99\times10^9$ N·m²·C⁻²

Archimède

Poussée d'Archimède

$\vec{F}_A = -\rho_{\text{fluide}}\,V_i\,\vec{g}$

Verticale, vers le haut. $V_i$ = volume immergé.

Contact

Réaction du support

$\vec{R} = \vec{R}_N + \vec{R}_T$

Composante normale + tangentielle (frottement).

Tension

Force de tension

$\vec{T}$

Dirigée selon le fil, du système vers l'extrémité opposée.

Mouvement dans un champ uniforme

Chute libre — champ de pesanteur

Un système soumis uniquement à son poids est dit en chute libre. Le PFD donne $\vec{a} = \vec{g}$.

Chute sans vitesse initiale : mouvement rectiligne vertical, uniformément accéléré vers le bas.

Tir parabolique (vitesse initiale non verticale) : la trajectoire est une portion de parabole dans le plan vertical contenant $\vec{v}_0$.

Équations horaires — tir parabolique (repère $(O,\vec{i},\vec{k})$, angle $\alpha$)

$$x(t) = v_0\cos\alpha\cdot t \qquad z(t) = v_0\sin\alpha\cdot t - \frac{1}{2}g\,t^2$$

Trajectoire (en éliminant $t$) : $z = x\tan\alpha - \dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2$ — parabole

Particule chargée dans un champ électrique uniforme

Un condensateur plan génère un champ $\vec{E}$ uniforme : $E = U_{AB}/d$. Une particule de charge $q$ y subit $\vec{F} = q\vec{E}$, d'où $\vec{a} = (q/m)\vec{E}$ — mouvement analogue au tir parabolique.

Aspect énergétique — théorème de l'énergie cinétique

$$\Delta E_C(A\to B) = \frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 = \sum W_{AB}(\vec{F}_{\text{ext}})$$

Chute libre : $\Delta E_C = mg(z_A - z_B)$ · Champ électrique : $\Delta E_C = q\,U_{AB}$

Énergie mécanique

$E_m = E_C + E_P$ se conserve si toutes les forces sont conservatrices (poids, force électrique).
Si des forces non conservatrices travaillent : $\Delta E_m = \sum W_{AB}(\vec{F}_{\text{nc}})$.

Exercices

Trois exercices Python

Exercices — Simulation numérique en Python

Vecteurs vitesse · Tir parabolique · Accélérateur de particules

Ces trois exercices vous guident pour simuler et visualiser des situations de mécanique avec Python. Pour chacun, complétez le code dans la fenêtre Basthon ci-dessous.

1
Vecteurs vitesse sur une chronophotographie. À partir de positions discrètes $(x_i, z_i)$ relevées à intervalles $\Delta t$ réguliers, calculer et tracer les vecteurs vitesse approchés.
2
Tir parabolique. Simuler la trajectoire d'un projectile lancé avec une vitesse initiale $v_0$ et un angle $\alpha$. Déterminer numériquement la portée $D$ et la flèche $H$.
3
Accélérateur linéaire de particules (Linac de Widerøe). Calculer la vitesse finale d'un ion K⁺ à la sortie de l'accélérateur par le théorème de l'énergie cinétique ($\Delta E_C = q\,U_{AB}$).

Télécharger les exercices Python (PDF)

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Environnement Python — à compléter

Basthon · numpy · matplotlib · simulation mécanique

Le code ci-dessous est un point de départ : les fonctions à compléter sont indiquées par # À COMPLÉTER. Référez-vous aux exercices du PDF pour les consignes détaillées.

Les trois exercices sont accessibles via des sections numérotées dans le code. Modifiez, testez, recommencez !

Cliquez pour ouvrir l'éditeur Python Code pré-chargé — complétez les sections marquées # À COMPLÉTER

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
## ── EX 1 : Vecteurs vitesse ─────────────
dt = 0.04 # s
x = np.array([0, 0.08, 0.18, ...])
## ── EX 2 : Tir parabolique ──────────────
v0, alpha = 15, np.radians(40)
## ── EX 3 : Linac ────────────────────────
q, m = 1.6e-19, 6.5e-25

Sélection du manuel Hatier Terminale :

Act. 2 p.291 Ex. 20 p.302 Ex. 28 p.304 Ex. 36–37 p.306 Ex. 35·38 p.306 Ex. 32 p.332 Ex. 35 p.332 Ex. 40 p.332 Ex. 48 p.335 Ex. 59 p.337 Ex. 25–29 p.362 Ex. 31–32 p.363 Ex. 35 p.364 Ex. 22·24 p.362 Ex. 46–47 p.366 Ex. 50·52 p.367

Vitesse

$\vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$

2ᵉ loi de Newton

$\sum\vec{F} = m\vec{a}$

Acc. centripète

$a_n = \dfrac{v^2}{R}$

Théorème Énergie Cinétique

$\Delta E_C = \sum W(\vec{F})$

Énergie cinétique · champ E

$\Delta E_C = q\,U_{AB}$

Mécanique —Cinématique & Dynamique

Référentiel d'étude

Cinématique — décrire le mouvement

Vecteur position

Vecteur vitesse

Vecteur accélération

Repère de Frenet (mouvement circulaire)

Types de mouvements

Dynamique — lois de Newton

Méthode d'application

Inventaire des forces

Mouvement dans un champ uniforme

Chute libre — champ de pesanteur

Particule chargée dans un champ électrique uniforme

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