Le modèle du condensateur
Intensité électrique
L'intensité du courant électrique correspond au débit de charges électriques, c'est-à-dire à la charge électrique qui traverse la surface S du conducteur par seconde.
En courant continu, l'intensité I est constante. En courant variable, l'intensité varie à chaque instant : c'est une fonction du temps notée $i(t)$, ou simplement $i$.
Modèle du condensateur
Un condensateur est un ensemble de deux conducteurs placés l'un en face de l'autre et séparés par un isolant. Les deux conducteurs sont appelés armatures du condensateur.
Les armatures d'un condensateur portent des charges égales en valeur absolue mais de signes opposés.
Capacité du condensateur
La charge $q$ portée par les armatures du condensateur est proportionnelle à la tension $u(t)$ entre les armatures. Le coefficient de proportionnalité est la capacité du condensateur, notée C.
La capacité d'un capteur capacitif dépend de sa géométrie et de l'isolant entre ses armatures. Cette propriété est utilisée dans de nombreux capteurs rencontrés en activité expérimentale ou dans les exercices.
Comportement capacitif
En associant les deux relations précédentes $i(t) = \dfrac{dq(t)}{dt}$ et $q(t) = C \times u(t)$, on obtient la relation courant-tension du condensateur :
- $i(t) = \dfrac{dq(t)}{dt}$ : l'intensité est la dérivée de la charge par rapport au temps.
- $q(t) = C \times u(t)$ : la charge est proportionnelle à la tension, C étant la capacité (en farad).
- $i = C\,\dfrac{du}{dt}$ : un condensateur ne laisse passer du courant que si la tension à ses bornes varie.
Circuit RC série
Un circuit RC série est l'association en série d'un condensateur de capacité C et d'un conducteur ohmique de résistance R.
Charge du condensateur
Soit un condensateur initialement déchargé. À l'instant $t = 0$, on ferme l'interrupteur K et la charge commence. On peut montrer que la tension $u_C$ vérifie l'équation différentielle :
La résolution de cette équation différentielle conduit à :
La constante de temps $\tau$ est le temps caractéristique d'évolution du circuit. On peut la retrouver graphiquement comme l'abscisse de l'intersection entre l'asymptote horizontale de la courbe $u_C(t)$ et la tangente à l'origine à la courbe.
- Pour $t = \tau$ : $u_C(\tau) \approx 0{,}63 \times E$.
- Pour $t = 5\tau$ : la charge est considérée comme quasi complète.
Décharge du condensateur
Un condensateur initialement chargé sous une tension E peut se décharger dans un dipôle ohmique. À l'instant $t = 0$, on ferme l'interrupteur K et la décharge commence. La tension $u_C$ vérifie alors l'équation différentielle :
La résolution de cette équation différentielle conduit à :
- Pour $t = \tau$ : $u_C(\tau) = 0{,}37 \times U_0$.
- Pour $t = 5\tau$ : la décharge est considérée comme quasi complète.
Présentation d'Arduino
Arduino est une carte électronique programmable utilisée pour piloter des montages, acquérir des mesures (tension, intensité) et étudier la dynamique d'un circuit RC en temps réel.
Ce document présente la carte Arduino, son environnement de programmation (IDE), ainsi que les bases nécessaires pour acquérir une tension et l'utiliser dans l'étude expérimentale d'un circuit RC.
Travaux pratiques
Étude expérimentale de la charge et de la décharge d'un condensateur dans un circuit RC, à l'aide d'une carte Arduino pour l'acquisition de la tension $u_C(t)$.
Câblage d'un circuit RC série, acquisition de la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur à l'aide d'une carte Arduino, puis exploitation des courbes pour déterminer expérimentalement le temps caractéristique $\tau = R \times C$.
Récupérez les programmes Arduino (croquis .ino) et les ressources nécessaires à la réalisation du TP : code d'acquisition de la tension, bibliothèques éventuelles et fichiers d'exemple.