Érosion des lacs — Ondes mécaniques provoquées par les bateaux

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Hypothèses et vocabulaire

Hypothèses (rappel du document)

On modélise par des ondes mécaniques périodiques les vagues créées par les bateaux. A est l'amplitude de ces ondes suivant l'axe z des altitudes. L'origine z = 0 correspond à l'altitude de l'eau dans le lac lorsqu'aucune onde ne se propage ; les points de la surface étudiés sont repérés par leur abscisse x.

Illustration — période T (représentation temporelle) et longueur d'onde λ (représentation spatiale)

1. Comment appelle-t-on la période spatiale d'une onde périodique ?

Longueur d'onde λ Fréquence f Amplitude A Célérité v

2. Dans quelle unité s'exprime la célérité v d'une onde ?

mètre (m) mètre par seconde (m/s) seconde (s) hertz (Hz)

3. Quelle relation relie correctement la célérité v, la longueur d'onde λ et la période T ?

v = λ × T v = T / λ v = λ / T v = λ + T

Vocabulaire — « en phase »

Deux points d'un milieu sont dits en phase s'ils vibrent exactement de la même façon au même instant : par exemple, s'ils se trouvent tous les deux au sommet d'une vague en même temps.

01

Compléter le programme Python

Consigne

Le programme trace z(t) à la source (x = 0) puis à l'abscisse xM, avec une célérité v = 10 m/s et une distance bateau‑berge L = 0,040 km.
Choisis une période T = 3 s, une amplitude A = 5 dm et une abscisse xM = 10 m — attention, xM doit être saisi en km dans le programme.

onde_bateau.py

from pylab import *

# Données modifiables
A =  # amplitude suivant z, en dm (entre 0 et Amax)
T =  # période de l'onde en s (entre 2 et 10)
xM =  # abscisse de M en km (entre 0 et L)

# Données non modifiables
v = 10       # célérité en m/s
L = 0.040    # distance bateau-berge suivant x, en km
tmax = 30    # date de fin en s
Amax = 10    # amplitude maximale en dm

t = linspace(0, tmax, 500)
def z(t):
    return 0.56*A*(sin(2*pi*t/T) - sin(4*pi*t/T))

fig = figure()
gcf().subplots_adjust(hspace = 0.7)

fig.add_subplot(2, 1, 1)
plot(t, z(t))
title("z(t) à la source"); xlabel("t (en s)"); ylabel("z (en dm)")
grid(True); ylim(-Amax, Amax); xlim(0, tmax)

fig.add_subplot(2, 1, 2)
plot(t, z(t - 1000*xM/v))
title("z(t) à xM = " + str(xM) + " km de la source")
xlabel("t (en s)"); ylabel("z (en dm)")
grid(True); ylim(-Amax, Amax); xlim(0, tmax)

show()

Indice

xM doit être exprimé dans la même unité que L (le km) pour que la comparaison 0 ≤ xM ≤ L ait un sens : 10 m = 0,010 km.

Résultat attendu

Deux courbes sinusoïdales de même forme, la seconde étant identique à la première mais décalée dans le temps (retardée) : c'est le retard mis par l'onde pour parcourir la distance xM à la célérité v.

Comprendre le code, ligne par ligne

Le programme utilise plusieurs briques de base du langage Python. Teste ta compréhension avant d'exécuter le code.

a. Dans def z(t): puis return 0.56*A*(...), pourquoi la deuxième ligne est-elle décalée vers la droite (indentée) ?

C'est une simple habitude d'écriture, sans effet sur le programme Cela indique que cette instruction fait partie du corps de la fonction z Cela transforme la ligne en commentaire Cela déclare une nouvelle variable globale

b. Que crée l'instruction fig = figure() ?

Une nouvelle fenêtre graphique (figure) vide, prête à recevoir des graphiques Une liste de 500 nombres Un fichier enregistré sur l'ordinateur La fonction z(t) elle-même

c. À quoi sert gcf().subplots_adjust(hspace = 0.7) ?

À fixer les limites de l'axe des ordonnées À espacer verticalement les deux graphiques empilés sur la même figure À changer la couleur des courbes À calculer la période de l'onde

d. Que définissent ylim(-Amax, Amax) et xlim(0, tmax) ?

Le titre et la légende du graphique Les valeurs affichées respectivement sur l'axe des ordonnées (z) et sur l'axe des abscisses (t) Le nombre de points calculés par linspace L'épaisseur du trait de la courbe

e. Dans title("z(t) à xM = " + str(xM) + " km de la source"), à quoi sert str(xM) ?

Elle arrondit xM à l'entier le plus proche Elle transforme le nombre xM en chaîne de caractères pour pouvoir l'assembler avec du texte Elle additionne xM directement à un nombre Elle supprime xM de la mémoire

f. Que fait l'instruction show(), à la toute fin du programme ?

Elle enregistre le programme sur le disque Elle affiche à l'écran la ou les fenêtres graphiques qui ont été construites Elle relance tout le programme depuis le début Elle efface les graphiques déjà tracés

02

Simulateur interactif

Consigne

Fais varier T et A : que remarques-tu sur l'allure des courbes ?
Reviens à A = 5 dm, T = 3 s, puis fais varier xM : que se passe-t-il sur le graphique du bas ?

Amplitude A = 5 dm

Période T = 3 s

Distance xM = 10 m

Retard Δt = xM/v1,0 s

Période spatiale λ = v·T30 m

Vagues / minute = 60/T20

Signaux en phase ?non

4. Avec T = 3 s, A = 5 dm et v = 10 m/s (0 ≤ xM ≤ L = 40 m), pour quelle valeur de xM les deux signaux sont-ils en phase (hors xM = 0) ?

10 m 20 m 30 m 40 m

5. Quelle est la période spatiale λ de l'onde étudiée (T = 3 s, v = 10 m/s) ?

10 m 20 m 30 m 40 m

6. Dans les conditions de la question précédente (T = 3 s), combien de vagues touchent la rive en 1 minute ?

10 15 20 30

Indice

λ = v × T. Pour le nombre de vagues par minute, divise la durée (60 s) par la période T d'une vague.

＋

Conclusion

À retenir

La vague créée par le bateau est une onde mécanique progressive périodique : elle transporte de l'énergie, sans transport de matière, de proche en proche à la célérité v.
Le signal reçu en xM a la même forme que celui de la source, mais retardé du temps xM/v mis par l'onde pour parcourir la distance source–berge.
Plus la période T est petite, plus le nombre de vagues frappant la rive par minute est grand : une activité nautique intense (wakeboard, wakesurf) augmente donc la fréquence des impacts sur la berge, ce qui favorise l'érosion.

v = λ/T	célérité, longueur d'onde, période
Δt = xM/v	retard entre la source et un point M

Pourquoi les vagues des bateaux rongent-elles les berges ?

Hypothèses et vocabulaire

Vocabulaire — « en phase »

Compléter le programme Python

Simulateur interactif

Conclusion

Pense-bête — ondes mécaniques progressives périodiques

Pas de Thonny sous la main ? Utilise Basthon

λ = v·T	période spatiale
n = 60/T	nombre de vagues touchant la rive en 1 min